分類討論在數學教學中的應用探析

2019-11-25 03:27:18 成才之路 2019年28期

吳月紅

摘 要:分類討論是一種重要的數學思想和思考方法,其實質是將一個較復雜的數學問題分解成若干個基礎性問題,通過對基礎性問題的解答來實現解決整個問題的思維策略。它有利于提高學生學習數學的興趣,培養學生思維的條理性和嚴密性。文章通過實例闡述初中數學中分類討論的應用,分四種情況具體分析分類的原則和方法。

關鍵詞:分類討論;數學教學;圖形;參數;動點

中圖分類號:G633.6文獻標志碼:A文章編號:1008-3561(2019)28-0083-02

數學教學不僅要向學生傳授數學知識和技能,還要培養學生的數學思維能力,讓學生在作業訓練中學會數學思維的靈活運用,在問題解答中進行思維的探索。分類討論是一種很好的數學思想和方法。其不僅考查學生的基礎知識和方法技能,還考查學生思維的深刻性和廣闊性,學生分類討論能力的高低在某種程度上影響其數學學習的效率和質量。本文分別從四種常見的情況出發,對數學教學中分類討論的實際應用作以探討。

一、 受數學概念、性質、公式的條件限制時

分類討論的實質是將整體問題化為部分問題來解決,用增加題設條件來完成解題過程。教學中的分類過程就是在解決一個問題時,因無法用統一的方法去解決而利用一個標準將復雜的問題簡單化,把大問題劃分成幾個不同形式的小問題,以不同的解答方法逐一討論完成,然后綜合起來,使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答。

數學中有些概念是分類定義的,比如實數的絕對值,“數軸上表示一個數的點與原點的距離,叫做這個數的絕對值”“正數的絕對值是它本身,負數的絕對值是它的相反數,0的絕對值是0”,所以應用這些概念解題時,就需進行分類討論。此外,一些定理、公式等也是有一定的限制條件或有特定的適用范圍的。

比如下面這個問題:

例1:化簡a-2-3-a

本題中沒有給出取值范圍,所以教師要進行分類討論,建議學生在做題的時候畫出數軸,在數軸上找到2和3,然后再討論:(1) 當a<2時,(2-a)-(3-a)=-1;(2) 當2≤a<3時,(2-a)-(3-a)=2a-5;(3)當a>3時,(2-a)-(3-a)=1。

運用分類討論思想研究問題,首先要審清題意,認真分析可能產生的不同因素;其次要確定分類的標準,每次分類必須按同一標準進行,不能重復也不能遺漏,以避免出現漏解或錯解的情況;再次是要對每個小問題逐一認真解答,分析歸納出整個問題的正確結論。

二、 因幾何解題圖形不確定時

幾何是大多數學生學習的難點,而圖形是幾何學習和研究的核心內容,幾何題的解答離不開圖形的分析。有的學生在沒有給出現成的圖形時,往往畫圖不周全,思考不到位。因此,教師在指導學生解答幾何題目時,要有意識地滲透分類討論的思想,培養學生正確合理地利用圖形解題的意識,不能憑一種情況就斷章取義。

例2:CD為等腰△ABC的腰AB上的高,CD=2,tan∠ACD=9/4,則△ABC的長為_____。

這道題目中只有文字描述,沒有給學生畫出圖形,那就要求學生在做題時自己畫圖,因此很多學生就會出現遺漏,畫的圖是銳角等腰三角形,所以答案是4-2。事實上,由于沒有圖,只說是等腰三角形,那么就要討論它是什么等腰三角形,按頂角的度數分類有銳角等腰三角形、等腰直角三角形、鈍角等腰三角形。因為題目中說 tan∠ACD=,所以肯定不是等腰直角三角形。最后就分兩種情況來討論(如下圖),所以,例2的正確答案是4±2。

在解答這類沒有給出圖形要自己畫圖的題目時,教師要引導學生運用分類討論思想對已知條件進行分析,抓住要點,抽絲剝繭,把復雜的問題簡單化,把未知的內容已知化,并學會舉一反三,做到觸類旁通,從而培養學生全面地觀察事物的習慣,訓練學生的邏輯推理能力,優化學生的數學思維品質。

三、當題目中含有參數時

近年來,含參數問題是各地中考數學試題中的熱點之一,它不僅考查學生掌握基礎知識和基本技能的牢固程度,還考查學生是否具有較強的分析能力和判斷能力。當題意中含參數時,就應該用分類討論的思想來解決問題。因為參數而進行的討論,一般有這樣兩種情況:一是給定命題結論,由此去探求參數的取值范圍;二是由參數的取值范圍去探討命題在參數的制約下可能出現的各種結果,從而歸納出原命題的正確結論。

例3:若關于x的方程kx2-3x-=0有實數根,則實數k的取值范圍是_____________。

學生在做這道題目時最容易獲取的信息是“有實數根”,這一信息讓學生馬上聯想到一元二次方程根的判別式Δ≥0即b2-4ac≥0,求出k≥-1,又由于學生的習慣思維覺得這是一元二次方程,二次項系數不能為0即k≠0,所以學生很容易出現錯誤答案:k≥-1且k≠0。事實上,做這道題目時應該先看到“方程”兩個字,既然是方程,就要分為一元一次方程和一元二次方程進行分類討論。當該方程是一元一次方程時,k=0,求得方程的根為x=-,所以此時方程有實數根,即k可以為0;當該方程為一元二次方程時,此時:k≥-1且k≠0。綜上所述,k的取值范圍為:k≥-1。

從例3不難看出,分類討論對于解答初中數學習題起著重要的作用,它可以促進學生全面而周密地分析和思考問題,有效地克服思維的片面性,從而提高學生的數學解題能力。

四、遇到動點問題時

作為一種重要的數學思想和基本的解題策略,分類討論揭示了數學事物之間的內在規律,體現了“化整為零,各個擊破,再積零為整”的策略,有助于學生的邏輯思維訓練和數學學習效率及質量的提高,對學生的思維模式必將產生深遠的影響。

動點問題是中考中的高頻考點,常出現于中考數學的倒數第二題甚至是壓軸題。這類試題知識點多、題型復雜、難度較大。其解答不僅要用到分類討論思想,還要用到數形結合、函數方程等數學方法。一般情況下,動點問題分類討論的可能性極大,只有正確分類,才有可能正確解決問題。

例4:如下圖:矩形ABCD,AD=8,AE=2,若AE=2EB,點O是直線MN上一動點,以O為圓心畫圓,使得⊙O與直線PQ相切,且與矩形ABCD某一邊相切。請問⊙O符合要求的有幾個?并以其中一個圓為例求出其半徑。

該題是一道綜合性大題目,動點O在直線MN上,并以它為圓心作圓,使⊙O與直線PQ相切,同時又與矩形ABCD的某一邊相切。由于矩形有四條邊,所以就要討論⊙O到底與矩形的哪一條邊相切。因為⊙O在直線BC上,所以⊙O不會與BC邊相切。因為⊙O與直線PQ相切了,所以⊙O不會與邊AD相切。從而就可以知道,⊙O與邊AB或者是邊CD相切。這時候問題又來了,⊙O在邊AB(CD)的左側還是右側呢?所以最終這道題目要分成四種情況來進行討論。第一種⊙O與邊AB相切的情況分為:(1)⊙O在AB的左側與AB相切;(2)⊙O在直線AB的右側與AB相切。第二種⊙O與邊CD相切的情況分為:(3)⊙O在CD的左側與CD相切;(4)⊙O在CD的右側與CD相切。

值得注意的是,分類討論要有一定的原則,即分類中的每一部分是相互獨立的,一次分類按一個標準,要逐級有序地進行。上面這道題目就很好地體現了分類討論里的逐級討論原則,化繁為簡,清楚地揭示了事物的屬性。

總之,分類討論是在問題出現不確定性時的有效方法和思路。數學教師要對癥下藥,因勢利導,在日常教學中有意識地按照循序漸進原則,靈活有效地對學生進行分類討論思維訓練,提高學生學習數學的興趣,培養學生思維的條理性和縝密性,提升學生解題的正確率,最終有效提高課堂教學質量。

參考文獻:

[1]叢小明.全面剖析初中數學分類討論思想教學[J].數學教學通訊,2017(35).

[2]張福生.初中數學分類討論思想的教學建議[J].中學數學教學參考,2016(33).

[3]楊文春.在初中數學教學中如何滲透分類討論思想[J].數學學習與研究,2016(14).

[4]袁紹建.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用探究[J].數學學習與研究,2015(24).

快速赛车开奖记录 河南快三开奖结果查询 江苏江苏十一选五走 决战卡五星新版本 炒股交易平台软件 精准二码免费公开 大地棋牌游戏中心下载 四川麻将连连看2 浙江体彩20选5胆拭 宁夏十一选五几点到几点 幸运pk10快艇在线直播 雪诺和塞布尔 安徽打什么麻将