經歷數學活動過程 促進學生深度學習

2019-11-26 13:59:53 教育界·下旬 2019年9期

朱長和

【摘要】《義務教育數學課程標準》要求,讓學生在經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動的過程中,發展推理能力,清晰地表達自己的想法,發展學生的數學思維。在給定目標下,感受針對具體問題提出設計思路、制定簡單的方案解決問題,并加強反思,積累數學活動經驗。在課中,我們要注重數學的理性和學生思維的縝密性,促深度理解;動手實踐和數學思考相結合,促深度感悟;探究活動與積累數學活動經驗相結合,促深度體驗,真正促進學生深度學習。

【關鍵詞】數學活動;數學經驗;思維

一、課前思考

這是一次探索計算規律的活動,是在學生已經認識奇數、偶數、質數、合數等概念,并在已經積累較多探索數的特征的活動經驗的基礎上安排的。通過活動,一方面能使學生感受數學規律的多樣性和趣味性,感受數學知識間的廣泛聯系;另一方面則有利于學生從新的角度進一步豐富對奇數和偶數的認識,提升數學思考的水平。

二、課堂回放

片段1:研究兩個數和的奇偶性,重在觀察、歸納

師:這里的和一定是兩個數的和嗎?

生1:不一定

生2:可能是三個數的和,也可能是四個數的和,或者許多個數的和。

師:對,研究這樣比較復雜的問題,通常從最簡單的情況開始。

先研究兩個數相加的情況,同桌的兩人學號加起來。

師:觀察三道算式的和都是什么數?為什么它們的和都是奇數呢?

生:因為它們都是奇數+偶數。

師:那什么情況下和是偶數呢?

學生舉例加法算式并板書。

師:任意兩個數的和的奇偶性都是這樣的狀況嗎?有無例外呢?我們在數學領域通過幾個例子發現的情況還只能算是猜測,要通過更多的舉例去驗證。

學生再舉例。

師:有兩個問題,1.有沒有反例?2.例子能舉得完嗎?

生:有無數個例子,舉也舉不完。

師:大家舉的例子一下子就能夠通過算出答案而知道和的奇偶性。出示587634+1458963,計算起來就麻煩了,能看出來和是什么數嗎?

生:奇數,判斷一個數是奇數還是偶數只要看它的個位。

出示表格,一一列舉了所有兩個數的和的奇偶性情況。

師:表格列舉了兩個數和的所有情況,未發現一個反例,說明了上面的猜想是正確的,可以轉化成結論。

【思考】歸納往往從觀察開始,數學觀察是學生學習數學的重要方法,不僅用眼看,還需要進行積極的數學思考,往往還伴隨著數學猜想。所以,教學中應注意設計觀察活動,讓學生充分經歷觀察和猜想的過程,體驗如何觀察、猜想和的奇偶性特征;在觀察的基礎上,開展相應的比較和歸納,從不同的算式中發現本質規律;啟發學生開展相應的合情推理,形成一定程度的數學抽象,進行一般性和普遍性的數學建模。表格一一列舉所有的兩個數的和奇偶性情況,培養了學生思維的縝密性,為相對理性的思考和討論提供支持,這節課不能只有舉例,也不該只有不完全歸納,也要講道理,使學生明白為什么是這樣的,其實數學課堂,無需貪多貪全,更不可以偏概全,應求真,應不厭其深。

片段2:研究多個奇數和的奇偶性,重在探究、交流

師:研究了若干個偶數和的奇偶性問題,我們接下來研究什么?

生:多個奇數相加的情況。

師:你打算怎么研究?需要提醒什么?

生:可以舉例。

……

師:問大家一個問題,他即將和大家分享觀點,我們干什么?聽什么?

生:……

師:我們既要聽明白對方所說的話,還得把自己帶入場景中聽,聽一聽他的思路和自己的思路有什么相同和不同的地方,能做到嗎?

學生展示,互相交流、補充、 質疑。

師:剛才講了,通過舉幾個例子憑直覺發現的情況只能算是猜測,數學得講理,為什么是這樣呢?

結合學生的回答,在課件上每兩個奇數圈為一組,和是偶數。追問:和若干個奇數和的奇偶性主要看什么?

【思考】“探索規律”的教學必須以完整真實的探究過程為主線,讓學生有足夠的時間和空間理解和提出問題,尋求解決問題的思路,在艱難曲折的探究活動中對規律本質內涵有深度理解,對探究過程有理性的認識。“怎樣探究”“怎樣舉例” 最大限度喚醒學生以往研究規律性質的數學活動經驗,促使學生主動思考探究方案,并在交流、思辨中不斷優化完善,使數學活動經驗悄悄走進學生心中。課堂不應該是學生獨善其身的場所,應成為協同合作的陣地,學生經歷實踐探究,必然會產生體驗、感悟,個體認知需要伙伴的分享、傾聽與交流,需要團體的補充、修正和完善。盡管表達可能不是很流暢,舉例可能不是很全面,但這些都是學生真實的自主的學習狀態,教師有目的地進行點撥,學生質疑補充,整個過程實際就是將學生碎片化的認知變成系統化、結構化的過程,是學生將新知納入舊知,將知識和經驗提升的過程,使自主建構在互動交流中得以實現。由不完全歸納發現若干個奇數和的奇偶性規律,經過演繹推理來證明猜測, 幫助學生形成“根據已有的數學命題-尋找命題間的邏輯關系-得出特殊結論”的演繹推理思維模式。

片段3:研究多個數和的奇偶性,重在比較、推理

出示3個奇數相加的算式,判斷和的奇偶性,并依次加4個偶數,一個一個地加,一次一次地和前面的結果對比, “現在的和還是奇數?”學生說結論并完善。

師追問:加了幾個偶數,對和的奇偶性有沒有影響?

生:總共加了四個偶數,它們的和還是奇數。

師:如果再加一個奇數呢,和還是奇數嗎?那么和的奇偶性與什么數有關,和什么數沒有關系?

生:與奇數的個數有關,與偶數無關。

【思考】控制變量法,即把多因素的問題變成多個單因素的問題,而只改變其中的某一個因素,從而研究這個因素對事物影響,分別加以研究,最后再綜合解決。在3個奇數的和是奇數的基礎之上,每次加一個偶數,看和的奇偶性有沒有變化,一直加了4個偶數,一次一次對比,“現在和還是奇數”;一次一次推理判斷,加了偶數對和的奇偶性沒有影響;而加奇數,和的奇偶性便會發生變化。通過運用控制變量法,結合前面結論“偶數+奇數=奇數”“奇數+奇數=偶數”進行推理,引導學生主動對前后結果的異同進行比較,得出最終結論“和的奇偶性和加數中奇數的個數有關,與偶數沒有關系”,積累了數學規律探究的經驗,發展了學生的數學思考。

三、課后反思

1.注重數學的理性和學生思維的縝密性,促深度理解

讓學生長期經歷歸納推理和演繹推理的過程,獲得推理的真實體驗,最終形成數學思維模式。具體看,一方面提供典型的、有代表性的數學事實,通過簡單舉例讓學生將相鄰學號相加,進行猜測,經歷由特殊到一般的不完全歸納推理過程,得出一般性的數學結論或提出數學問題,形成“觀察個別數學對象-發現相同特征或形成本質聯系-概括出一般結論”的歸納推理思維模式。通過問題“一定是這樣嗎?”,使學生初步體會從有限的實例中歸納出來的結論具有不確定性,舉例和相關結論之間存在一定的或然性,驗證環節不僅重要而且必不可少,由此將學生的數學思考推向深入。驗證這一環節,受小學生的知識和思維發展水平所限,通常采取舉例驗證的方法,他們盡管不能窮舉所有的例子,但是可以在歸納出結論之后選擇不同的例子進行驗證,并由老師對窮舉式做一個簡單介紹,使得學生的發現由不完全歸納上升到初步的理性思考層面,以體現數學思考的嚴謹性和數學結論的確定性,也體現了“猜想-驗證”這一數學方法的精神內核,即:只有結論能夠滿足一定范圍內的“所有情形”,這樣的結論才具有足夠的可靠性,發展了學生的數學理性精神。而對于若干個奇數和的奇偶性問題,通過不完全歸納發現結論,經過演繹推理來證明結論,促進學生形成“根據已有的數學命題-尋找命題間的邏輯關系-得出特殊結論”的演繹推理思維模式。這樣的思路不僅具有嚴謹的內在邏輯,而且也滲透了研究問題和探索規律的一般方法,有助于學生在活動過程中不斷積累經驗,促進對知識的深度理解。

2.動手實踐和數學思考相結合,促深度感悟

動手實踐和數學思考相結合,一方面讓學生在動手實踐中思考怎么舉例,為什么這樣舉例,另一方面還要在實踐的基礎上進行反思,增強對實踐的感悟和體驗。教學是教學生學,是引導學生的思維在學的過程中提升,而不是琢磨應該怎樣節省時間,怎樣順利地走完教的過程。教之于學,應該是開導,應該是促進學生思考感悟。其實,數學知識與技能只是承載思考的載體,使學生獲得更有價值的數學思考才是教學的根本目的。沒有學生的思考就沒有真正的數學學習,這節課的根本目的很明顯不是得到規律,而是讓學生經歷探究的過程,提升數學思考的水平。在探究若干個奇數和的奇偶性規律時,如果單一使用教師提供的完整的表格進行整理,學生其實只是被動填寫,所發現的結論是膚淺而不完整的,缺乏了思維的主動性,學生難以體會探究的真諦,阻礙了學生思維的發展。波利亞認為,學習任何知識的最佳途徑是由自己去發現,因為這種發現理解最深,也最容易掌握其中的規律、性質和聯系。多元表征促進多維思考,可以舉例,也可以直接運用前面結論進行演繹推理,不同形式不同角度理解多個奇數和的奇偶性規律,及時溝通聯系,在比較中促進深度感悟。學生經歷了自主探究的過程,才能真正理解多個奇數和的奇偶性規律,真正發展了學生思維。

3.探究活動與積累數學活動經驗結合,促深度體驗

《義務教育數學課程標準》倡導,在設定目標的情況下,能針對具體問題提出設計思路,制定簡單的方案解決問題,可見鼓勵學生設計制定實驗方案也是增強實證意識、積累數學活動經驗的一個重要舉措,教師不急于牽著學生往下走,不直接給出探究“若干個奇數和的奇偶性規律”的具體方案,而是通過問題,“你想怎樣來研究?”最大限度喚醒學生以往研究規律性質的數學活動經驗,即舉例;“想一想怎樣舉例?”促使學生主動思考探究方案,這既能增強探究活動的計劃性,又可以幫助學生體會探究活動的關鍵,如多舉一些例子,舉例要全面典型等,并在交流、思辨中不斷優化完善,促進深度體驗,使數學活動經驗悄悄走進學生心中。

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